TEORIE MECHANISMU POZNÁVACÍHO PROCESU

 

EDUKAČNÍ TECHNOLOGIE

 

Martin Stehlík

PedF UK, TIV, 2010

 

 


Úvod do problému

 

Formalismus jako problém vzdělávání

V této práci se budu zabývat teoriemi, které se týkají poznávacího procesu žáka a které vznikly jako reakce na dlouhodobý problém ve vyučování zejména (ale nejen) matematiky. Tímto problémem je tzv. formalismus, tj. že znalosti žáků jsou bohužel pamětí uchovány jako v podstatě izolovaná fakta, jsou tedy nedostatečně propojeny a strukturovány, a tudíž je žák potom nemůže využít tak, jak by mohl. Typickým příkladem je učení vzorců nazpaměť. Žák se naučí vzorec pro povrch krychle, poté pro povrch např. válce, ale nevytvoří si základní znalost, že stačí sečíst obsahy všech stěn tělesa a vzorec si potom vlastně není potřeba pamatovat. Jak již jsem o formalismu uvedl, nejde jen o problém vyučování matematiky, je potřeba si uvědomit, že vzniká i v jiných předmětech. Například chemie, vzpomeňme si na chemické rovnice, kde se vyskytují jak chemické značky prvků, tak oxidační čísla u sloučenin a existuje systém, pomocí kterého se tato čísla dopočítávají. Spousta žáků však systém plně nepochopí a učí se rovnice zpaměti. Nebo dále některé oblasti informační výchovy, jako je programování, mají k matematice často blízko. Učí se zde jisté algoritmy a sekvence příkazů, kterými se řeší daný problém (analogie s postupem při řešení rovnice), a pokud si žák nepropojí, co který příkaz dělá, nedokáže do problému proniknout. Někdy se pak snaží problém obejít, že se krátký program naučí nazpaměť, jako se student matematiky naučí vzorec. A jsme opět u formalismu.

 

Toto se samozřejmě neděje pouze u nás, ale všude na světě, a tak vznikala snaha tento problém řešit a porozumět poznávacímu procesu, tedy procesu, kdy se žák zmocňuje nějakého poznatku. Na to pochopitelně existuje více teorií. V této práci vám předložím některé z nich. Upozorňuji, že dané teorie vznikaly dlouhodobě, například autor Teorie generických modelů, Milan Hejný, pracoval na té své desítky let. Za tuto dobu uskutečnil mnoho experimentů a provedl mnoho výzkumu a své závěry průběžně doplňoval. Předesílám tedy, že se v práci snažím pouze shrnout tyto teorie, nepřináším bohužel zcela nové poznatky.

 


1. Teorie generických modelů

 

Počátky teorie a důvod jejího vzniku

Teorie generických modelů vznikala postupně. Nejprve pouze jako soubor myšlenek, jak zkvalitnit vyučovací proces. Autor teorie Milan Hejný začal r. 1975 v 5.ročníku základní školy dlouhodobý experiment s cílem najít možnosti výuky, které by zmíněný formalismus oslabily. Vedlo ho přesvědčení, které převzal od svého otce V. Hejného, že skutečně kvalitní poznání učitel nemůže žákovi jen tak předat, ale že se k němu žák musí dobrat sám. Hlavním těžištěm vyučování by tedy neměl být výklad, ale vhodně volená série úloh, což je jednou z hlavních zásad konstruktivismu.

 

Během experimentu pak poznal, že přestože jsou myšlenkové pochody žáků pochopitelně různé (dáno matematickou vyspělostí, rychlostí, atd.), jedno je během poznávacího procesu spojuje, a sice náhlé prozření, nabytí vhledu do zkušeností do té doby nepropojených. Po tomto zjištění pak autor začal mnohaletý výzkum zaměřený na řešení otázek jako: Jak se člověk zmocňuje matematického poznatku? Které faktory jsou pro zrod nového poznatku rozhodující a které mu naopak brání?

 

Mechanismus jako výsledek zkoumání

V průběhu let pak dospěl k modelu mechanizmu poznávacího procesu, který se pak stal účinným pomocníkem při analýze žákovských myšlenkových procesů, při hledání příčin jeho chyb a zejména při tvorbě výukové strategie, která má co nejvíce omezit vznik formálních poznatků.

 

Konstrukce mechanismu vychází jak z autorových experimentů, tak i z mnohaletých pedagogických zkušeností jeho otce, dále např. z některých myšlenek J. Piageta, především jeho metody popisu kognitivního vývoje pomocí vývojových stádií [6].


Stádia mechanismu nabývání (matematického) poznání

Proces budování poznatku Hejný [2] rozkládá do několika hladin a hladinových přechodů:

 

1.         Hladina motivace. Tato motivace k poznávání pramení z žákova rozporu mezi „nevím“ a „chci vědět“. (Budeme-li však žáka nutit, nelze mluvit o motivaci, ale o stimulaci.)

2.         Hladina separovaných modelů. Jde o postupné nabývání zkušeností s konkrétními případy budoucího poznání, čím více takových modelů žák pozná, tím bude poznání pevnější. Důležitou roli zde hrají modely zdánlivé (nejsou modelem, přestože se tak mohou jevit), překvapivé (modely takové, které jsme nepředpokládali, nebo takové, které se tváří, že modelem nejsou) a tzv. ne-modely (pro doplnění, aby žák viděl i to, co mezi modely nepatří).

3.         Zobecnění. V této hladině na sebe jednotlivé modely uložené ve vědomí žáka začnou poukazovat, seskupovat se a strukturovat, čímž dojde k žákovu hlubšímu vhledu do poznání a ke vzniku tzv. generického modelu.

4.         Hladina generických modelů. To jsou modely, které jsou prototypem buď všech, nebo jisté skupiny separovaných modelů.

5.         Abstrakční zdvih. Vede k abstraktnímu poznání. Soubor separovaných a generických modelů je ve vědomí žáka restrukturován a jeho nový vhled má abstraktnější charakter.

6.         Hladina krystalizace. Nové poznaní se napojuje na dříve nabyté vědomosti. Nejdříve na hladině modelů, pak na hladině abstraktního poznání. To bývá dlouhodobý proces.

 

Příklad budování poznatku

Pro ilustraci uvádím, jak takový mechanismus nabývání poznání, někdy také nazýván jako pojmotvorný proces, vypadá v praxi. Dobře to lze ukázat na jednom z těžších témat matematiky na základní škole, kde vždy vzniká mnoho problémů a kde hodně žáků dělá chyby. Tímto tématem jsou zlomky.

 

Na hladině motivace je dobré dát žákům nějaký příklad z praxe, aby je probíraná látka zaujala. Například položit otázku: "Maminka upekla koláč, který si měly k večeři rozdělit dvě děti a tatínek, ale aby půl koláče ještě zbylo."

Žáci si koláč nakreslí a budou ho rozdělovat na části podle zadání. Uvědomí si přitom, že zlomky vlastně v běžném živote znají, jen s nimi doposud neuměli počítat.

 

Aby si žáci vytvořili hladinu separovaných modelů, je potřeba jim předložit ukázkové zlomky a nezapomenout přitom na nemodely a překvapivé a zdánlivé modely. Modelem pak mohou být klasické zlomky jako 1/2, 1/3, 5/2, 23/3. Za překvapivý model pak můžeme vybrat záporný a nějaký „velký “zlomek, třeba  -2/3 a 1021/1020. Zdánlivý model, neboli ten, který se pouze jako zlomek tváří, tvoří například celá čísla přepsaná do podoby zlomku, namátkou 6/3, 5/5, 0/5, nebo Číslo, nedávající smysl 5/0. Nemodelem pak mohou být jakákoliv čísla, která nejsou zlomkem, tedy 1, 2, 0, -56. Ještě předtím by však bylo dobré ukázat nejpoužívanější modely zlomků, které poukazují do praxe, jako je rozkrájený koláč na třetiny, poloviny, čtvrtiny, nebo spojení „půlka chleba“, „čtvrtka chleba“, „trvalo to čtvrt hodiny“, „uplaval jen půl bazénu“. To vše by mohlo být dobrým modelem pro zlomky, na němž žáci pochopí, proč se zlomky vlastně zabýváme.

 

Na hladině zobecnění pak dochází ke seskupování těchto modelů, například si žák vytvoří skupinu „zlomky <1“, „zlomky >1“, zlomky, které se dají krátit, apod.

 

V další fázi si žák vytvoří generický model, klasickým modelem zlomku, jak již jsem uvedl, je koláč a jeho rozdělování na kusy - zlomky. Děti se na něm učí dělit celek na části, označovat si je a vidět v něm stejné zlomky, vyjádřené více možnými zápisy (2/4 = 1/2).

 

Abstrakčním zdvihem pak je moment, kdy si žák uvědomí, že čísla, která vyjadřují část celku a která zapisujeme se zlomkovou čarou (lomítkem), s čitatelem nahoře a se jmenovatelem dole, nazýváme zlomky.

 

Konečně o abstrakční znalosti můžeme hovořit, když dojde k propojení s již dříve získanými znalostmi, žák již umí pracovat se zlomky stejně jako s celými čísly a představit si pod nimi část celku (resp. chápe např. problematiku, že je-li čitatel zlomku menší než jmenovatel, jedná se o číslo menší než 1 a naopak).

 

 


2. Teorie proceptů

 

Zavedení

Procept zavedli a přesně vymezili E. Gray a D. Tall [5, s.1]:

V této stati uvažujeme o dualitě mezi procesem a konceptem v matematice, zvláště o té, v níž se stejný znakový systém používá i jako proces (jakým je sčítání dvou čísel 3 + 2) i jako produkt tohoto procesu (součet 3 + 2). Dvojznačnost zápisu umožňuje myslícímu člověku pružně v myšlenkách přecházet od procesu, jímž nějakou úlohu řeší, ke konceptu, s nímž pracuje jako s částí širšího schématu. Znak, který přirozeně reprezentuje amalgám dvojznačnosti proces/koncept, nazýváme „procept".

 

V následujícím popisu teorie proceptů využiji Hejného zkoumání této teorie [1, s.83]. Původní teorie proceptů od Graye a Talla je v angličtině k dispozici na internetu [5]. Hejný klade zásadní důležitost na následující slova uvedeného vymezení: „... ke konceptu, s nímž pracuje jako s částí širšího schématu“, kterými autoři říkají, že žákovi k vytvoření proceptu spojů typu „a ± b = c“ nestačí, aby uměl bezchybně a rychle počítat. Musí umět se spoji typu „a ± b = c“ zacházet jako s prvky schémat. Pojmem „schéma“ se budu zabývat později.

Organizace proceptů

Procept je pojem s vrstvenou organizací. V této organizaci jsou základem tzv. „elementární procepty“ a jejich soubor pak tvoří „procept vyššího řádu“. Hejný [1, s.84] uvádí následující příklad. Soubor elementárních proceptů 1 + 2 = 2 + 1, 1 + 3 = 3 + 1, 1 + 4 = 4 + 1, atd. je propojen společným objektem „je jedno, zda k řadě předmětů přidám další předmět na začátku nebo na konci, výsledek bude týž". Jakmile bude tento objekt zapsán znakem „1 + n = n + 1", stává se proceptem. K tomuto proceptu poté přibudou další procepty „2 + n = n + 2", „3 + n = = n + 3", „4 + n = n + 4", atd., které poukazují na objekt „součet dvou čísel se nezmění, když vyměním při sčítání jejich pořadí". Pak už zbývá jen krůček k objevu proceptu na vyšší hladině, k němuž dojde, když bude uvedený objekt zapsán jako „m + n = n + m" s vědomím, že m, n jsou libovolná přirozená čísla.

Tento příklad však není dokonalý, protože je zde poznávací proces velmi zjednodušen, ale postačí na to ukázat, jak se z proceptů nižší úrovně vytváří procept na vyšší úrovni.

Srovnání teorie proceptů a teorie generických modelů

E. Gray a D. Tall požadují [5], aby kromě znakového zápisu (na který kladou důraz) nechyběla schopnost použít koncept v širším schématu. Podle Hejného [1, s.84] je právě tato schopnost klíčová pro vytvoření proceptů. Ze svých experimentů vyvodil, že v mnoha případech jsou sice splněny všechny podmínky pro existenci proceptů, ale podmínka použití schématu v širším kontextu schází.

Mezi teorií proceptů a teorií generického modelu vidí Hejný přinejmenším tři rozdíly. Generický model není vázán na znak („m + n = n + m“), jak je tomu u proceptů, a procept není nástrojem na popis procesu zobecňování, jak je tomu u generického modelu. Dále pro tvorbu generického modelu je potřebné poznávat i jiné typy izolovaných modelů (modely zdánlivé a modely překvapivé), u proceptů se však s tímto jevem nesetkáme. Obě uvedené teorie lze však dobře propojit, protože obě sledují poznávací proces v matematice (i když z trochu jiného úhlu).

 

3. Pojem schéma a teorie APOS

 

Pojem schéma

V odborné literatuře najdeme mnoho interpretací tohoto termínu. Například jedna ze široce používaných teorií poznávacího procesu v matematice má dokonce slovo „schéma" zakódované ve svém názvu. Je to APOS (akce, proces, objekt, schéma) teorie, která byla rozpracována ve výzkumném týmu RUME pod vedením E. Dublinského [4].

 

Pojem schéma v APOS teorii E. Dublinského

APOS teorie, jak uvádí její autoři [4], vznikla v návaznosti na Piagetovu teorii reflektivní abstrakce, která propojuje mechanizmus abstrakčního zdvihu (přechod z toho, co bylo vytvořeno na nižší úrovni, na úroveň vyšší) a reflexe, která tento přechod rekonstruuje a reorganizuje. APOS teorie byla velice užitečná při snaze pochopit proces učení u studenta analýzy, abstraktní algebry, statistiky, diskrétní matematiky a dalších oblastí vysokoškolské matematiky. Teorie tedy byla a dále je rozpracovávána na úrovni vysokoškolského vzdělávání, je však užitečná i pro analýzy zaměřené na žáka 1. stupně ZŠ.

 

Čtyři klíčová slova, která dala teorii zkratku APOS, pak Dubinsky [4]. osvětluje slovy:

 

Akce je transformace objektů vnímaná člověkem jako svou podstatou vnější, která požaduje instrukce, ať již přímo nebo pomocí paměti, které krok za krokem ukazují, jak uskutečnit operaci.

Reflektovaným opakováním akce si člověk vytvoří vnitřní mentální konstrukci zvanou proces, pomocí které člověk může danou akci realizovat ve svém vědomí bez vnější opory. Člověk může akci realizovat ve vědomí, aniž by ji reálně dělal, a tedy může o ní uvažovat v obráceném pořadí a v propojení na jiné procesy.

Objekt je konstruován z procesu, když již člověk vnímá proces v celistvosti a je schopen na něm uskutečňovat transformace.

Konečně schéma matematického konceptu je soubor akcí, procesů, objektů a jiných schémat, vázáných jistým obecným principem, aby ve vědomí člověka vytvořily rámec, který umožňuje člověku řešit problém vztahující se k danému konceptu.

Srovnání Hejného teorie a teorie APOS

Hejného vymezení je trochu užší než v APOS teorii. V APOS teorii se do schématu zahrnují již první akce a procesy, ale Hejný zrod schématu váže na objevení se prvního generického modelu. Dále Dubinsky neodděluje úroveň schématu a struktury. Pro Hejného chápání procesu matematického poznávání je toto oddělení důležité. Na druhé straně Dubinsky rozvádí další vlastnosti schématu, jež Hejný popisuje jinou terminologií. Zejména je to trojice Piagetových vývojových mechanizmů intra, inter a trans, která je v teorii generického modelu popsána pomocí tvorby izolovaných modelů, procesu vzájemného propojování těchto modelů a zrodu modelu generického.

 

Piagetův model vývinu poznání

Jean Piaget rozlišuje ve svém modelu poznávacího procesu [6] tři stádia, které pojmenoval INTRA, INTER a TRANS. Každá stádium pak charakterizuje kognitivními schop­nostmi žáka.

Ve stádiu INTRA je žák schopen sledovat jednotlivé jevy, ale není ještě schopen správně chápat souvislosti. Piaget toto stádium uvádí na příkladu dětských kreseb, kdy dítě umí nakreslit dům, umí nakreslit i komín, ale neumí komín správně umístit na střechu. Ve stádiu INTER již žák plně rozumí souvislostem mezi jevy. Piaget ho charakterizuje tím, že dítě již umí správně posadit komín na střechu domu, ale ještě neumí zachytit pohled někoho jiného, např. jak by namaloval „ jeho dům" soused sedící naproti němu. Ve stádiu TRANS žák již plně rozumí analogiím, trans­formacím atd. Podle Piageta pak dítě dokáže správně nakreslit dům a umístit na něj komín i z různých pohledů.

Vztah izolovaných a generických modelů a schématu

Podle Hejného [1, s.86] izolované modely vystupují jako informace, shlukují se do celků a jsou základem pro vznik schématu. K tomu však dojde až s objevením prvního generického modelu. Do schématu pak patří všechny dřívější izolované modely i ty, které se objeví dodatečně. Opěrnými sloupy schématu však jsou jeho modely generické.

 

 

 

 


Závěr

Shrnutí a vztah teorií k ICT a dalším oborům

V této práci jsem se snažil předložit tři významné teorie zabývající se poznávacím procesem. Tyto teorie vznikaly primárně pro potřeby matematiky, přesto jsou jejich myšlenky přenositelné i na jiné obory vzdělávání. Zejména proto, že vznikaly jako reakce na problém formalismu (při kterém dochází k nedostatečně strukturovaným poznatkům) a ten se objevuje nejen v matematice. V úvodu práce jsem uvedl příklad z chemie nebo informační výchovy. Proto tedy lze brát teorie v úvahu i při vzdělávání v oboru ICT.

Co se týče teorií samotných, je vidět, že některé myšlenky mají podobné, ale tím, že vznikaly nezávisle, mají samozřejmě jinou strukturu a své zavedené pojmy. Vyzdvihl bych teorii M. Hejného nejen proto, že je českým pedagogem, ale hlavně pro propracovanost této teorie. Ta nejen umožňuje nahlížet na proces, jakým žák uchopuje nějaký poznatek, ale hlavně tak dává návod i učiteli, jak může žákovi při tomto procesu pomoci. Sice teorie říká, že se k poznání žák musí dobrat sám, avšak pedagog mu může pomoci předložením kvalitních modelů, z nichž si pak žák lépe utvoří generický model.

Tato teorie je pak přenosná i na některé další předměty, kde se pracuje s určitými postupy řešení nějakého problému.


Obsah

 

Úvod do problému. 2

Formalismus jako problém vzdělávání 2

1. Teorie generických modelů. 3

Počátky teorie a důvod jejího vzniku. 3

Mechanismus jako výsledek zkoumání 3

Stádia mechanismu nabývání (matematického) poznání 4

Příklad budování poznatku. 4

2. Teorie proceptů. 6

Zavedení 6

Organizace proceptů. 6

Srovnání teorie proceptů a teorie generických modelů. 7

3. Pojem schéma a teorie APOS. 7

Pojem schéma. 7

Pojem schéma v APOS teorii E. Dublinského. 7

Srovnání Hejného teorie a teorie APOS. 8

Piagetův model vývinu poznání 8

Vztah izolovaných a generických modelů a schématu. 9

Závěr 10

Shrnutí a vztah teorií k ICT a dalším oborům.. 10

 

 

 


Díla

 

Česky

[1] HEJNÝ, M. Budování matematických schémat. In Cesty zdokonalování kultury vyučování matematice. Hošpesová, A. et al. České Budějovice : Jihočeská univerzita v Č. Budějovicích, 2007, s. 81-121. ISBN 978-80-7394-052-2.

 

[2] HEJNÝ, M.; NOVOTNÁ, J.; STEHLÍKOVÁ, N. Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky.

Praha : PedF UK, 2004.

 

[3] HEJNÝ, M.; KUŘINA, F. Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy k vyučování. Praha : Portál, 2001.

 

Cizí

[4] DUBINSKY, E.; McDONALD, M. APOS: A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research, 1999.

[Online: www.math.kent.edu/~edd/ICMIPaper.pdf]

 

[5] GRAY, E.; TALL, D. Duality, ambiguity and flexibility in Successful Mathematical Thinking, 1994.

[Online: www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1991h-gray-procept-pme.pdf]

 

[6] PIAGET, J., GARCIA, R. Psychogenesis and the History of Science. Columbia University Press, New York, 1989.