Cabri Cabri Cabri Cabri Cabri

Souměrnost

Obsah :

Shodné útvary

Shodnými útvary v rovině rozumíme takové dva rovinné obrazce, které se po posunutí na sebe navzájem kryjí.

Na papíře stačí jeden útvar vystřihnout a položit na druhý. Jestliže se přesně kryjí, jsou shodné. Ne vždy však můžeme útvar vystřihnout, pomůžeme si tedy takzvanou "Průsvitkovou metodou". Ta spočívá v tom, že jeden z útvarů obkreslíme na průsvitku a vzniklý obrys přesuneme na druhý útvar. Jestliže se obrysy obou útvarů přesně překrývají, můžeme říct, že jsou útvary shodné.

Pozor ! Nezapomeňte, že shodné útvary mohou být umístěny v různých polohách. Mohou být různě otočeny nebo převráceny. I vy tedy prúsvitkou otáčejte a převracejte ji, aby jste získali jistotu v následujícím cvičení .

Které úsečky jsou shodné ?

Které úhly jsou shodné ?

Zamysli se, o kterých geometrických útvarech lze říci, že jsou vždy shodné?

Osová souměrnost

Osová souměrnost je zobrazení v rovině, které překlápí vzory přes osu. Jednoduše si jej lze představit, jako obtisk po přeložení listu papíru. Osovou souměrností vznikne tedy obraz, který je shodný se vzorem a převrácený ve směru kolmém na osu. Původní obrazec nazýváme VZOR, ten který vznikne zobrazením nazýváme OBRAZ, ten označujeme většinou jako vzor s čárkou. Přímku, přes kterou se vzor překlápí nazýváme Osa souměrnosti.
Na obrázku v Cabri si všiměte, že se osovou souměrností překlápí celé poloroviny vyjma osu souměrnosti. Všechny body osy souměrnosti zůstávají namístě a tedy i průsečíky vzorů s osou souměrnosti se kryjí se svými obrazy. Takové body, jejichž vzory se kryjí se svými obrazy nazýváme samodružné body.

Na obrázku v Cabri se pokuste nastavit útvary tak, aby byly samodružné, tj aby vzory splynuly s obrazy. Podařilo se vám to u všech obrazců ?

Zjistěte, kdy osová souměrnost zachovává rovnoběžnost, to znamená, které úsečky vzoru jsou rovnoběžné se svými obrazy.

Dokážete již sami sestrojit obrazy jednoduchých útvarů v osové souměrnosti? Pokud si ještě nejste jisti, spusťte si konstrukci osové souměrnosti, která vše objasní.

Konstrukce obrazu v osové souměrnosti

Zadání : Sestrojte obraz úsečky AB v osové souměrnosti s osou o.

Postup konstrukce:
Sestrojíme obrazy bodů A,B a spojíme v úsečku A'B'. Obrazy nalezneme tak, že spustíme vždy ze vzoru kolmici na osu souměrnosti. Tím získáme bod P - patu kolmice o kterém víme, že leží ve středu úsečky vzor obraz.
Spusťte si následující animaci a úlohu vyřešte zároveň do sešitu.
Konstrukce:

Promítnout video

Krokovat

Jestli jste si jisti už nyní, ověřte si znalosti v následujícím cvičení.

Osově souměrné útvary

Osově souměrný útvar se dá rozdělit přímkou na dvě shodné části, pro které platí: Když překlopíme jednu část podle této přímky, kryje se přesně s druhou částí.
Přímka je tedy osa souměrnosti tohoto útvaru.

U geometrických útvarů rozhodneme o jejich souměrnosti snadno. Setkali jsme se již s úhlem a jeho osou soměrnosti, totiž osou úhlu a víme i že každá úsečka má svou osu souměrnosti a to osu úsečky.
Spusťte si obrázek v Cabri, kde je narýsován osově souměrný šestiúhelník a pokuste se zde vymodelovat osově souměrný trojúhelník, obdélník, čtverec, pětiúhelník a další geometrické útvary. Připomeňte si, které body útvaru jsou samoružné.
Osově souměrné útvary však neexistují pouze v geometrii, ale setkáváme se s nimi denně. Příkladem může být tento motýl, některé dopravní značky a další předměty.

Nalezněte osy souměrnosti u útvarů na obrázku.

Vyjmenujte ještě alespoň pět osově souměrných útvarů.

Útvary však mohou mít i více než jednu osu souměrnosti. To nejlépe uvidíte v následujícím cvičení.

Kolik os souměrnosti má čtverec, kolik kružnice a kolik míč na obrázku ?

Středová souměrnost

Středová souměrnost je, stejně jako souměrnost osová, zobrazení v rovině, které převádí vzory na obrazy. Rozdíl oproti osové souměrnosti je v tom, že překlopení vzoru probíhá přes jediný bod, který nazýváme střed souměrnosti.
Na obrázku vidíte ABC - vzor zobrazený ve středové soměrnosti se středem S na A'B'C' - obraz. Body A', B', C' jsou tedy obrazy bodů A, B, C ve středové souměrnosti se středem S.
Všiměte si, jak se ABC převrátil. Zatímco u osové souměrnosti se vzor převracel pouze ve směru kolmém na osu souměrnosti, ve středové souměrnosti je převrácení složitější. Narozdíl od osové souměrnosti, středová souměrnost zachovává rovnoběžnost, to znamená, že kterákoliv úsečka vzoru je rovnoběžná se svým obrazem.

Který bod je ve středové souměrnosti vždy samodružný?

Které útvary na obrázku v Cabri lze přesunout tak, aby byly samodružné?

Konstrukce obrazu ve středové souměrnosti

Zadání : Sestrojte obraz trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti se středem S.

Postup konstrukce:
Postupně vyneseme polopřímky AS, BS, CS a sestrojíme body A', B', C' tak, aby bod S byl vždy středem úsečky vzor-obraz. Obrazy bodů A,B,C spojíme v trojúhelník, čímž dostaneme obraz ABC ve středové souměrnosti se středem S.
Konstrukce:

Promítnout video

Krokovat

Konstrukci středové souměrnosti si procvičte v následujícím cvičení.

Středově souměrné útvary

Středově souměrný útvar je vždy souměrný podle vlastního středu S. To znamená, že ke každému bodu nalezneme jeho obraz ve středové souměrnosti se středem S, který rovněž náleží tomuto útvaru.
Spusťte si ukázku v Cabri a až si budete jisti, že poznáte středově souměrný útvar, vyřešte následující cvičení.

Nastavte šestiúhelník v Cabri tak, aby byl středově souměrným útvarem.

Vyjmenujte alespoň 5 středově souměrných útvarů z vašeho okolí.