Konvexní úhel Cabri II Nekonvexní úhel Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II Cabri II

Úhly

Obsah :



Úhel

Pojem úhlu patří k nejzákladnějším pojmům geometrie. Zajímavé je, že úhel můžeme definovat několika různými způsoby, z nichž má každý své opodstatnění.

Nejzákladnější definice říká:

Úhel je část roviny omezená dvěma polopřímkami se společným počátkem.

Při takto definovaném úhlu si však musíme uvědomit, že polopřímky VA a VB vymezují dva různé úhly a to :
Bod V se nazývá vrchol úhlu AVB.
Polopřímky VA a VB se nazývají ramena úhluAVB.
Úhly často zjednodušeně označujeme malými
písmeny řecké abecedy


Ne každá definice je na první pohled tak jasná jako tato. Úhel můžeme též definovat pomocí bodů dané vlastnosti, neboli bodů, které mají něco společného. Taková definice pak může vypadat například takto:
Rovinným úhlem nazýváme množinu všech bodů všech polopřímek VX se společným počátkem V, kde bod X patří do daného oblouku AB kružnice k se středem v bodě V.

Pokud jste této poněkud složitější a na představivost náročnější definici úhlu zcela neporozuměli, klepněte na symbol Cabri II a pohybujte s bodem B. V náčrtku nejsou samozřejmě všechny polopřímky VX, to by ani nebylo možné, ale při důkladném prostudování bude jistě i tento náčrtek stačit a mnohé bude jasnější.




Osa úhlu

Ke každému úhlu náleží tzv. osa úhlu. Je to vlastně přímka, která rozděluje úhel na dvě shodné části - dva shodné úhly. Osu úhlu můžete vytvořit například tak, že úhel vystřižený z papíru přeložíte napůl.

Osu úhlu můžeme definovat také pomocí množiny bodů dané vlastnosti takto:
Osou úhlu nazýváme množinu právě těch bodů úhlu, které mají od obou ramen úhlu stejnou vzdálenost

Na obrázku je osa znázorněna jako přímka o. Osy úhlů kreslíme tenkou čerchovanou čarou.
Klepnutím na symbol Cabri II si zobrazte ukázku a splňte následující úkoly:

Sledujte, kam se přesune bod K, jestliže body A,V,B leží v přímce.

Jakým postupem byste zkonstruovali osu úhlu ?



Velikost úhlu

Velikost úhlu se považuje za veličinu, tudíž se k velikosti úhlu připojuje značka úhlové jednotky. Úhly se zpravidla měří v
obloukové nebo stupňové míře.

Oblouková míra


Hodnota obloukové míry úhlu AVB se rovná délce kružnicového oblouku AB, který je průnikem úhlu AVB a kružnice k se středem ve vrcholu V a poloměrem 1. Úhlová jednotka obloukové míry se nazývá radián a ozačuje se rad.

Radián je hlavní jednotkou rovinného úhlu. Patří mezi tzv. "doplňkové jednotky" mezinárodní soustavy jednotek SI.
Radiánu se používá především v technických disciplínách, jako jsou například fyzika nebo elktrotechnika. V běžné praxi se velikosti úhlů udávají většinou ve stupních.
Při udávání velikosti úhlu v obloukové míře se značka rad zpravidla vynechává.

Stupňová míra


Úhlová míra stupňová byla odvozena od rozměru pravého úhlu, kterému bylo přiřazeno 90 jednotek. Proto tuto míru nazýváme též devadesátinná míra. Úhlovou jednotkou stupňové míry je 1 stupeň značka o.

Pro jeden stupeň platí :

Úhlový stupeň se dělí na 60 úhlových minut (1o = 60')
Úhlová minuta se dělí na 60 úhlových vteřin (1' = 60") , tj. 1o = 3 600 " .
Počítat v takovéto nedesítkové soustavě jednotek není samozřejmě nic příjemného. Často bude potřebné uskutečňovat různé převody mezi stupni, minutami a vteřinami, proto by bylo vhodné si je procvičit. Tyto převody jsou poněkud zdlouhavé, avšak návrhy na měření úhlů v desítkové soustavě se dodnes v běžném životě neujaly. Jistým pokusem bylo zavedení tzv. setinné míry, ale i její používání je velmi omezeno.

Otevřte si ještě jednou předcházející obrázek v Cabri II a pokuste se vytvořit převodní tabulku mezi stupni a radiány pro 30o, 45o, 60o, 90o, 180o, 270o, 360o

Pokusně odečtené hodnoty ověřte kontrolním výpočtem podle převodního vzorce. Svá měření a výpočty si můžete zkontrolovat zde.

Radián a úhlový stupeň jsou dvěmi nejpoužívanějšími jednotkami velikosti úhlu. Ve speciálních vědních oborech se používají rovněž další úhlové jednotky, s nimi se však běžně nesetkáte.

Rozdělení úhlů podle jejich velikosti

Velikosti jednotlivých speciálních úhlů vyjádřete v radiánech. Kdo si nebude vědět rady, může použít převodní tabulku.


Sčítáme a odečítáme úhly

Graficky

Grafické sečtení úhlů a + b provedeme tak, že nejprve k jednomu rameni úhlu a přeneseme úhel b mimo úhel a. To znamená, že se oba úhly nepřekrývají, pokud jejich součet nepřesáhl 360o. Jejich součet je tedy úhel, kretý vymezila jejich nesouhlasná ramena.
Při odečítání úhlů a - b postupujeme obdobně, pouze úhel b přeneseme dovnitř úhlu a. Výsledný úhel opět vytyčují nespolečná ramena obou úhlů.

Pozor ! Jestliže a<b, musíme dát pozor na orientaci úhlu. Pokud se chcete těmto problémům vyhnout, počítejte raději rozdíl b - a.

Početně

Při počítání s úhlovými jednotkami musíme stále myslet na to, že se pohybujeme v šedesátkové soustavě. Všechny minuty i vteřiny větší než 59 musíme převádět.
Zvláštní pozor pozor musíme dávat rovněž při odečítání úhlu v případě, že počet minut menšence je menší než počet minut menšitele. Podívejme se na operace s úhlovými jednotkami podrobně a po důkladném prostudování si je procvičte na několika příkladech.


Dvojice úhlů

Styčné úhly

Styčnými úhly nazýváme dva úhly, jejichž součet velikostí je menší než velikost plného úhlu a jejichž dvě ramena splývají a zbývající dvě ramena leží ve vzájemně opačných polorovinách s hraniční přímkou obsahující společné rameno.
S tímto typem úhlů jsme se již setkali při garfickém sčítání úhlů. Abychom mohli dva úhly graficky sečíst, musíme z nich nejprve utvořit dvojici styčných úhlů.

Vrcholové úhly

Vrcholovými úhly nazýváme úhly, jejichž vrcholy splývají a ramena jsou vzájemně opačné polopřímky. Vrcholové úhly jsou shodné.

Vedlejší úhly

Vedlejšími úhly nazýváme styčné úhly, jejichž nesplývající ramena jsou vzájemně opačné polopřímky.

Součet dvou vedlejších úhlů je přímý úhel.

Doplňkové úhly

Dva úhly jež mají společné jedno rameno a jejichž grafickým součtem je úhel pravý, se nazývají doplňkové.

Součet dvou doplňkových úhlů je pravý úhel.

Souhlasné úhly

Střídavé úhly

Střídavé a souhlasné úhly mají jedno společné rameno a druhá ramena rovnoběžná. Velikosti střídavých i souhlasných úhlů se vždy rovnají. Rozdíl mezi těmito typy dvojic úhlů je vidět na obrázku.

Nalezněte souvislost střídavých a souhlasných úhlů s úhly vrcholovými.

Obvodový úhel

Zobrazte si konstrukci obvodového úhlu a a pohybujte bodem C. Sledujte, jakých hodnot bude nabývat úhel a. Všiměte si, jak se mění velikost úhlu při jiné délce úsečky AB. Na základě jednotlivých měření se pokuste formulovat obecnější pravidlo pro velikost obvodového úhlu.


Jak musí vypadat konstrukce, aby se velikost úhlu a nezměnila v žádné poloze bodu C ?